Cálculo de rentabilidad de un farol

Te voy a tirar... con las matemáticas

Extraido del blog de Eratostenes.


Como bien sabéis si faroleamos con una apuesta del pot en el river necesitamos que el villano se tire la mitad de las veces para que sea rentable, o que si apostamos medio bote, hace falta que se tire la tercera parte de las veces. Generalizar estos conocimientos para cualquier tipo de bote y de apuesta o para cualquier porcentaje de pot puede parecer complicado, pero no lo es tanto, en los próximos dos artículos entraré en los pormenores del farol sin odds.

Supongamos que tenemos un bote de tamaño X, y realizamos una apuesta de tamaño A sobre ese bote, ¿Qué probabilidad de que se tire el villano ( P(Fold) ) necesitamos como mínimo para que nuestra apuesta sea rentable?

Comencemos a partir de la función de expectativa:

EV= P(Fold) * X - [P(Call)+P(Raise)] * A

Un porcentaje P(Fold) de las veces el villano se tirará y ganaremos el bote de tamaño X, otras veces hará call o raise [P(Call)+P(Raise)] y perderemos una apuesta de tamaño A.

El porcentaje de veces que no se tira será uno menos el número de veces que sí se tira:

[P(Call)+P(Raise)]=1-P(Fold)

Sustituyendo:

EV= P(Fold)*X - [1-P(Fold)]*A

Para calcular el mínimo de porcentaje de fold que necesitamos para que el farol sea rentable igualamos el valor esperado a cero (Un matemático haría una inecuación, pero yo ni soy matemático ni me acuerdo muy bien cómo se hacían XD):

0= P(Fold)*X - [1-P(Fold)]*A

Multiplicamos el tamaño del bote A para poder quitar el paréntesis:

0 = P(Fold)*X - [A - A*P(Fold)]
0 = P(Fold)*X - A + A*P(Fold)

Pasamos la A a la izquierda y hacemos factor común de P(Fold):

A = P(Fold)*X + A*P(Fold)
A= P(Fold) (X+A)

P(Fold)= A/(X+A)

Así, podemos concluír que:

Dada una apuesta de tamaño A sobre un pot de tamaño X sobre el que no tenemos odds de ganar con nuestras cartas, la expectativa de un farol será positiva cuando la probabilidad de foldear del rival sea mayor al tamaño de la apuesta dividido entre el tamaño de la apuesta más el bote.

P(Fold)> A/(X+A) =>+EV

Es más sencillo de lo que parece, veamos, hacemos un value bet de 25 pavos en un bote de 100 porque hemos fallado un proyecto pero creemos que existe la posibilidad de que el rival tenga otro proyecto y nos gane por carta más alta: ¿Qué porcentaje de veces se tiene que tirar para que nuestro bluff sea rentable?

25/(100+25)=25/125=0,2

Será rentable si nos sale más del 20% de las veces.

Hacemos un farol de 150 pavos en bote de 200, ¿Qué porcentaje de veces se tiene que tirar como mínimo para que el farol sea rentable?

150/(200+150)=150/350 = 15/35 = 0,43.

Será rentable si el villano se tira más del 43% de las veces.


Ahora bien, estamos acostumbrados a apostar un porcentaje del bote, controlando así las odds que damos a los villanos, y lo mismo solemos hacer para los faroles.

Sea P el porcentaje de bote que apostamos de farol:

A = P * X, el tamaño del farol será igual al porcentaje del bote por su tamaño.

Sustituyendo:

P(Fold)=P*X/(X+P*X)

Hacemos factor común:

P(Fold)=P*X/X*(1+P)

P(Fold)=P/(1+P)

Así, podemos concluír que dada una apuesta de farol con un porcentaje P del bote, la expectativa de un farol será positiva cuando la probabilidad de foldear del rival sea mayor al porcentaje del bote dividido entre uno más el porcentaje del bote.

Por ejemplo:

Si apostamos medio bote: 0,5/1+0,5=0,5/1,5=0,33, necesitamos que se tire más de un 33% de las veces para que sea rentable. Calcularlo con los porcentajes 50/(100+50) es equivalente y no se utilizan decimales.

Veamos una serie de porcentajes de pot:

Portaje de Pot	Porcentaje de Fold necesitado para +EV
10%	9%
20%	16%
30%	23%
33%	25%
40%	28%
50%	33%
60%	37%
66%	40%
70%	41%
80%	44%
90%	47%
100%	50%

Representando la función gráficamente:

Viendo la gráfica se observa rápidamente un hecho muy importante ... ¡la gráfica no es lineal!. Si metes un 33% del pot necesitas un 25% de fold, mientras que si metes un 66% del pot no necesitas que se tire un 50% de las veces, sino un 40%.

Esto tiene connotaciones prácticas en el ratio riesgo/recompensa:

- Si blufeas blufea de verdad, si dudas entre dos cantidades mete fichas, ya que no necesitas teóricamente que se tire tantas veces proporcionalmente como las fichas que arriesgas, mientras que en la práctica tu apuesta será tomada mucho más en serio.

- Llega un punto en el que arriesgas muchas fichas para necesitar un porcentaje de fold similar. Por ejemplo, si hacemos una apuesta del pot necesitaremos que se tire la mitad de las veces, mientras que si hacemos un overbet de dos veces el bote necesitaremos que se tire más de dos tercios de las veces. Esto puede hacer parecer que overbetear es una buena idea, pero en la práctica no hay muchas manos que vayan a ver un pot y foldear doble pot, y estamos arriesgando el doble de fichas, por lo que el riesgo en muchas ocasiones será demasiado grande para la recompensa.